4D成像雷达中的角度估计算法分析
毫米波雷达通常配备多个发射和接收天线，天线以特定的几何排列方式部署，以便能够覆盖不同的空间角度。当天线阵列向周围环境中的目标发射信号时，信号与目标相互作用并产生反射，反射回来的信号被雷达接收天线捕获。由于不同天线与目标之间的相对位置不同，它们接收到的信号会存在一定的相位差异，这种相位差异与目标和天线之间的相对角度有密切关系。通过已知的天线几何排列和信号传播特性，计算不同天线接收到的信号相位差异，可以估算目标在水平和垂直方向上的角度。
从射频收发通道数量和角度分辨率来看，4D成像雷达的射频收发通道数量比传统3D毫米波雷达多出十倍以上，这大大提高了角度分辨率。因此，4D成像雷达能够对目标和环境呈现出丰富的点云图像以及、距离、速度和角度信息。
从雷达类型来看，4D毫米波雷达在传统3D毫米波雷达基础上，增加了俯仰角度的测量，从而形成了距离、速度、水平角度和俯仰角度四个维度，但其本质仍属于点迹雷达的范畴，输出测量点相比传统3D雷达只有少量增加。而4D成像雷达则真正完成了点迹雷达向成像雷达的转变，它不仅可以感知目标的有无，提高目标空间位置的定位精度，还能勾勒出目标的轮廓，这是传统3D雷达所无法做到的。
同时，传统3D毫米波雷达的角度估计算法相对简单一些，主要关注水平角度的测量。虽然这种算法在某些场景下已经足够精确，但在面对复杂环境和多目标场景时，其性能可能会收到一定限制。4D成像雷达的角度估计算法通常更加复杂，这主要是因为4D成像雷达不仅考虑了水平角度的测量，还加入了俯仰角度的估计。为了实现这种高维度的角度估计，4D成像雷达采用了更先进的信号处理技术，如二维FFT测角、二维MUSIC测角、二维PM算法、二维CS算法等，能够更准确地提取和解析雷达回波中的角度 ，从而实现对目标在三维空间中的精确定位。
典型的二维阵列为均匀面阵，示意图如下：
图1 二维均匀面阵示意图
上图中，
为第k个信号的方位角，
为第k个信号的俯仰角，
为信号来向与y轴夹角，
为信号来向与x轴夹角。为了简化表达式，有：
(1)
或者有：
(2)
对于远场非极化远场信号的二维DoA估计系统，对于一个信号源（目标），阵列在某一时刻t的采样可以写为：
(3)
其中，
为阵列导向矢量，均匀面阵阵元M行，N列，
为阵元个数，
为天线位置，一般为整数。
为阵列接收信号，
为加性高斯白噪声。对于K个信号源（目标），可以写为：
(4)
对于T个快拍采样来说，可以进一步写为：
(5)
其中，
，
，
，
。
如果信号源（目标）距离超过弗劳恩霍夫距离（
），D为阵列孔径，
为波长，否则认为是近场。
Ø 二维FFT测角
类似与对FMCW雷达进行二维FFT变换，对二维面阵得到的单快拍信号矩阵
将其按照面阵行列排布为
，M为面阵行数，N为面阵列数。如果面阵为均匀面阵，那么可以直接对
进行二维FFT，或者对
补零后的矩阵
进行二维FFT（可加窗）：
(6)
其中，MFFT为每列进行FFT点数，NFFT为每行进行FFT点数。
Ø 二维MUSIC测角
根据公式（3）的二维面阵信号，可以构造阵列信号协方差矩阵：
(7)
其中，
为信号源
的协方差矩阵，
为空域白噪声的方差。
对协方差矩阵
进行特征值分解：
(8)
其中，
表示
的特征值，将会看到：
(9)
上式等号右边是由矩阵
的特征值由大到小排列组成的对角阵。假设矩阵A是列满秩的，同时
是非奇异矩阵，即信源是非相干的。在这种情况下，矩阵
的秩
，那么：
(10)
也就是说，
的特征值中，最小的M−K个特征值都是相同的。根据这一特性，可将M维的观测空间划分成两个正交的子空间：由M−K个小特征值对应的特征矢量张成的空间称为噪声子空间，而K个大特征值对应的特征矢量张成信号子空间。
MUSIC 算法正是利用上述正交性，先计算出噪声子空间对应的特征矢量矩阵
，然后对感兴趣的范围内的每个角度
进行搜索：
(11)
上式中的MUSIC谱的谱峰，表明了搜索角度处的导向矢量与噪声子空间的弱相干性。谱峰的位置，即对应信源的DOA估计。
Ø 二维PM（Propagator Method）测角
二维PM算法的阵列模型示意图如下：
可以看到上图有两个子阵（面阵），子阵1有
个阵元，子阵2有
个阵元，
，（1，1）为阵列1参考阵元，阵列2的参考阵元为
，阵列11为阵列1的前
行组成的子阵。三个子阵的接收阵列信号如下：
(12)
并且有：
(13)
其中，
为
维对角矩阵：
(14)
上式表示阵列A2和阵列A11之间的位移不变性。
假设信号和噪声是不相关随机过程，那么阵列1信号和阵列2信号之间的互相关矩阵为：
(15)
其中
信号s(t)的协方差矩阵，
为噪声的互相关矩阵。当阵列1和阵列2相距足够远，那么
可以从上式中消掉，那么：
(16)
将矩阵
拆分成两个新的矩阵，即：
(17)
其中，K为目标个数。
假设K个目标信号没有两个信号是相关的，而且由于
,
,
,
为满秩矩阵，那么矩阵G的列向量是线性无关的，并且存在矩阵F使得下式成立：
(18)
利用最小二乘算法得到F表达式如下：
(19)
定义新的矩阵Q：
(20)
其中，I为单位阵，维度为
。根据上式推导有：
(21)
如果
表示
的列张成的子空间，那么上式表示矩阵Q的列张成噪声子空间，也就是
，因此得到下面的PM伪谱：
(22)
Ø 二维CS（Compressive Sensing）测角
压缩测量是压缩感知突破奈奎斯特采样定理的关键环节，通过观测矩阵压缩信号的信息量，直接在采样端压缩信号，最终达到大幅降低信号采样率的效果。下式描述了压缩测量原理：
(23)
其中，
为观测矩阵，满足
，信号（均匀阵列信号）
，观测向量（稀疏阵列信号）
，得：
(24)
式中
称为传感矩阵：
(25)
观测矩阵的选取是压缩测量的一个关键步骤，关系到采样信号的压缩比和能否将压缩后信号精确的还原出来。根据E. J. Candès，T. Tao等人提出的均匀测不准原理可知，观测矩阵需要满足有限等距原理（RIP），才能保证压缩采样信号能够还原回来。
选择观测矩阵原则是尽量保证观测矩阵
与变换矩阵
是不相关的，
与
的相关性定义有：
(26)
其中，
是观测矩阵
的第k列，
是变换矩阵
的第j列。
越小，重构信号效果越好，当
与
相互正交时，能够尽可能多的观测到信号的特征信息。
将压缩后信号重构，可以转化为下面方程的求解：
其中，
为经过压缩测量得到的观测向量，
为传感矩阵，
为稀疏向量，且只有K个分量不为零，K<<N。
式(27)的方程看起来不可解，但由于稀疏向量v大部分分量都为0，将方程转化为一个凸优化问题，就可以将信号精确的恢复出来，凸优化见下式：
其中，0范数表示向量中非零元素个数。此时，对于传感矩阵
需要满足有限等距原理（RIP）。为了理解这个定理，我们先假定集合
，索引T抽出矩阵
中相应列，组成子矩阵
。然后定义矩阵
的S阶有限等距常数
，即对于全部
的子集T，满足公式(29)的最小值：
其中，c为从v中提取的系数序列，满足
。这实际上要求从
中取出的子矩阵
的每一列近似为正交的。只要满足：
(30)
那么，S稀疏信号v就可以从式(28)中精确的恢复出来，目前信号重构主要是通过贪婪算法求解。算法的核心思想是：每次迭代从传感矩阵
中得到与信号匹配度最高的列向量集合，即增量矩阵
，再将增量矩阵的列向量线性组合得到
，并更新原始信号与
的残差，重复上述步骤，直到残差低于设定好的门限值，此时可以得到向量v中所有非零元素。
贪婪算法主要有：匹配追踪（Matching Pursuit, MP）算法，正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）算法、正则化正交匹配追踪（Regularized Orthogonal Matching Pursuit, ROMP）算法、压缩采样匹配追踪（Compressed Sampling Matching Pursuit, CoSaMP）算法、稀疏度自适应匹配追踪（Sparsity Adaptive Matching Pursuit, SAMP）算法等。
总的来说，4D成像雷达的角度估计方向会根据雷达系统的设计、工作频段、天线类型以及应用场景等因素而有所差异。因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的角度估计方向，并进行相应的优化和校准工作，以确保角度测量的准确性和可靠性。
